Este algorítmo esta limitado a dos dimensiones, debido a su simplicidad es fácil de programar, las principales desventajas para un diseño se encuentran justamente por ser a 2D que lo aleja del óptimo, más aún cuando se requiere aplicar los alizados para un pit operativo.

Para dar inicio a una explicación práctica se definirán los siguientes términos:

• "Precedentes" de un bloque x: son los tres bloques que existen a la izquierda de un bloque x (cuando el pit es diseñado de izquierda a derecha)
• El pit pasa por el bloque x, si x pertenece al pit y toca el límite con sus caras

En la Fig. Nº 1 se tiene una sección de J = 9 columnas con I = 4 niveles, con valorización de bloques (negativo cuando el material es estéril y requiere un costo para extraerlo). Se adiciona una fila artificial (0) con costo nulo, con un elemento adicional en la columna J+1 (se ignoran los bloques con color gris).

FASE 1

A partir de las valorizaciones de bloques C(i,j) de la Fig 1, se calcula el valor de M(i,j) con la siguiente expresión:




Se observa que para cualquier pit que pase por el bloque (i,j), M(i,j) representa la participación del valor de la columna en el pit.



Por ejemplo para el bloque M(3,5) se tiene:

FASE 2

Para todas las columnas desde j = 2 hasta j = j + 1, se trata cada bloque añadiendole el mayor valor de sus precedentes. Es decir se calculo P(i,j).


Se debe notar que cuando se trata la columna j, la columna j-1 ya ha sido tratada y tiene valores Pij en lugar de Mij. Por ejemplo en la Fig. 3 se tiene:





Si nos detenemos a ver el significado de cada valor de P(i,j), vemos que indica el máximo valor de un pit que se puede construir desde el bloque (i,j).



En la Fig. 3 al diseñar el pit desde el bloque P(2,5)=1 hacía la izquierda (siguiendo los máximos precedentes) encontramos el cortorno del la Fig. 4. Si sumamos los valores de C obtenemos el valor 1.

FASE 3

En la primera fila de la Fig. 3 se busca el elemento de mayor valor, si hay varios se toma el que se encuentra mas a la derecha. Según lo indicado en la fase 2 este valor representaría la valuación del pit óptimo encontrado.

FASE 4

Se entiende con facilidad que se puede dibujar el pit solución a partir del bloque de la columna 9, siguiendo al bloque precedente P de mayor valor.

OBTENCION DE UN DISEÑO HASTA UN NIVEL DESEADO

Por definición el pit óptimo en una matriz de valores como la descrita en la sección (o de cualquier sección real de terreno) es uno solo, por lo tanto llega hasta un solo nivel.

Sin embargo para propósitos de lograr la extrapolación a tres dimensiones, se requiere lograr el diseño óptimo hasta un nivel deseado, este diseño si bien no será el óptimo, será el diseño que suministre el máximo valor que llega al nivel que uno desea.

Partiendo con la misma sección de valores de bloques (Fig. 1) pero ignorando la existencia del del nivel 4 se tiene la Fig. 6. A esta sección se aplica el procedimiento de la Fase 1 y también lo descrito en la Fase 2.



Los valores de M se presentan en la Fig. 7, según la fórmula siguiente:




Los valores de P se presentan en la Fig. 8, que se obtienen con la siguiente expresión:


En donde se tendrá en cuenta que cuando k = i, r es diferente de 1, para no tomar en cuenta los valores de P d la fila 3



A continuación calculamos los valores de P par la fila 3 aplicando la siguiente expresión hasta obtener la Fig. 9.

PROCESO PARA LLEGAR DEL NIVEL i HASTA SUPERFICIE

Considerando que para realizar el diseño éste se delimita dese la superficie, en los siguientes pasos se describirá el proceso para delinear el óptimo desde el último nivel hasta la superficie.

CASO 1

A partir del primer bloque del último nivel (de izquierda a derecha) subimos la diagonal de izquierda a derecha de la forma siguiente:

Con valores de s = 1, 2, 3, ... Para cada bloque (i - s, p + s) de la diagonal, se calcula:


En donde los sub índices indican las siguientes coordenadas:

Bloque Z de coordenadas (i,p), X de coordenadas (i-s,p+s).



Los precedentes de x son:

a : de coordenadas (i-s-1,p+s-1)
b : de coordenadas (i-s,p+s-1)
c : de coordenadas (i-s+1,p+s-1)

Cuando :


y se continúa subiendo la diagonal, aumentando el valor de s.

Pero si:


Se detiene el ascenso en la diagonal (se detiene el incremento de s) y se pasa a otra diagonal, retornando el cálculo desde la fila i , para una columna (p+1) siguiente, en el bloque P(i,p+1).

Por ejemplo si empezamos esta aplicación desde el bloque (i,p) = (3,2), de la Fig. 9, tenemos lo siguiente:


P(3,2) significa el máximo valor de un pit que se puede construir desde (3,2), sin pasar por los niveles 4 y 5.

Para subir la diagonal empezamos con s = 1 (subimos un bloque).


Encontramos que el resultado es P(2,3) que también tiene valor 6, por lo tanto cambiamos de diagonal, por que el nivel i no incrementa el valor de los P superiores (se puede comprobar si seguimos subiendo esta misma diagonal).

Al cambiar de diagonal tenemos:


que es lo que se muestra en la Fig. 9. Para subir la diagonal, empezamos con s = 1.


vemos que este resulado es igual a P(2,4) por lo tanto cambiamos de diagonal y pasamos al siguiente bloque (3,4), y así sucesivamente hasta terminar la fila i = 3 (que no hace posible ascender hasta el nivel cero).

CASO 2

Si no se llega al nivel cero en ninguna diagonal, aplicamos el algorítmo de optimizacion simple que vimos en la Fase 1 y 2 pero de derecha a izquierda, de la siguiente forma:

A partir de la Fig. 7 aplicamos la siguiente fórmula similar a la utilizada en la Fase 1 y 2.


Por ejemplo de la matriz M Fig. 7 obtenemos el resultado siguiente:


también obtenemos:


De esta forma completamos el cálculo y obtenemos el resultado de la Fig. 11 y 12.





De esta forma conseguimos dos matrices P(i,j) de la Fig. 9, y PD(i,j) de la Fig. 12. Recordando P(i,j) es el procedimiento de cálculo de izquierda a derecha hasta el nivel 3, y PD(i,j) resulta del procedimiento aplicado de derecha a izquierda hasta el nivel 3.

A continuación, utilizando las matrices P(i,j), PD(i,j) y M(i,j), esta última de la Fig. 7, calculamos los valores de la siguiente expresión:


En donde V(i,m) representa el máximo valor total de cualquier pit que se trace desde (i,m), el máximo valor de V(i,m) se obtiene elegiendo entre todos los valores V(i,m) que se encuentran desde los bloques de la fila 3. En la expresión se resta M por que esta incluido dos veces (tanto en P como en PD).

Como ejemplo de cálculo de V(i,m) tenemos:


El valor máximo es V(3,3) = -1, por lo tanto el pit debe ser diseñado desde el bloque (3,3), hacía la izquierda en la matriz P(i,j) como se indica en la Fig. 13 y hacía la derecha en la matriz PD(i,j) como se indica en la Fig. 14. Al unirse ambos trazos resultará un solo diseño del pit óptimo que llega hasta el nivel 3.

CASO 2 (continuación)

En el caso que aplicando las fórmulas relacionadas a la Fig. 7, y se llega al nivel cero en cualquiera de las diagonales analizadas, significa que la fila "i" si contribuye con valor a los niveles superiores, por lo tanto existe un óptimo hasta el nivel "i". En este caso el valor del bloque del nivel cero, a donde se llegó subiendo la diagonal, indica el valor del pit que se puede construir desde él.

Entonces cuando se ha intentado subir al nivel cero en todas las diagonales y habiendo llegado en algunas, a a continuación se busca el mayor valor de todos los bloques del nivel cero y que se encuentre mas a la derecha, y desde allí se construye el pit óptimo.

Como ejemplo se desarrollará el pit óptimo hasta el nivel i = 2 en la matriz de costos C(i,j) de la Fig. 6. El cálculo de la matriz M(i,j) se presenta en la Fig. 7.

A continuación calculamos P(i,j) hasta el nivel (i - 1) = 1. como se muestra en la Fig. 15.



Al igual que para la Fig. 9, calculamos los P(i,p) que se muestra en la Fig. 16 siguiente. Luego desde cada uno de los bloques de la fila 3 aplicamos la expresión siguiente que se utilizó anteriormente.


A modo de ejemplo obtenemos lo siguiente:



Para


Luego s=1 según lo indicad en la fórmula, se tiene:



Cambiamos la diagonal por condición ya indicada, y tenemos nuevamente:


Luego s=1



entonces cambiamos de diagonal y tenemos:


Luego s=1


Vemos que:


entonces cambiamos el valor de P (1,4) según la fórmula establecida.


A continuación incrementamos s al valor 2, y tendremos:


Vemos que:


por lo tanto el nivel cero es alcanzado, lo cual indica que es posible construir desde este bloque (0,5) un pit que llegue hasta el nivel i = 2, por lo tanto existe un diseño óptimo que llega hasta el nivel 2.

Esta parte del algorítmo indica que el procedimiento descrito debe aplicarse para todas las columnas desde p = 2,....., J para buscar otros contornos posibles que se encuentren mas a la derecha y que puedan proporcionar un mejor valor. En este ejemplo particular, al continuar con los cálculos no encontraremos un mejor pit, por que no se encuentra un valor mayor de P(0,5) = 3.

Aplicado este procedimiento a todas las columnas, buscamos en la fila artificial (primera fila) el bloque de mayor valor que se encuentre más a la derecha, vemos que es el bloque (0,9). Este valor 3 es el valor del pit que se puede construir desde él y que llegará hasta el nivel i = 2, como se muestra en la Fig. 17.



Comparando este resultado, que tiene una particular metodología que fuerza encontrar el diseño óptimo hasta cierto nivel, con la obtenida por un método mas simple (Fig. Nº 5) se encuentran iguales resultados, es decir suministran el mismo diseño que llega hasta el nivel 2 y además el mismo valor económico.

Por lo tanto si el concepto de diseño óptimo nos permite encontrar un solo diseño que proporcione el máximo valor, también podemos forzar encontrar el óptimo que llegue a cada nivel (i) deseado, obteniendo como resultado el mejor diseño que proporcione el mayor valor del pit hasta el nivel (i).



Entonces podemos obtener para una sección una columna de valores, por ejemplo para una sección con valores de C(i,j) como se indica en la Fig. Nº 18, podemos obtener los siguientes resultados:



En donde el valor económico del Pit es:

S(1,1) = 1 + 1 = 2





S(2,1) = 1 + 1 -2 -3 = -4



S(3,1) = 0



S(4,1) = -8

La columna de valore estará formada por los resultados: 2, -4, 0, -8.

Si tomamos otra sección adyacente, con valores C(i,j), obtendremos también otra columna de valores de los diseños hasta cada nivel como el obtenido para la Fig N º 18. Así sucesivamente obtendremos similares valores para las demas secciones, que nos permitirá formar otra matriz como se indica en el lado lateral derecho de la Fig. Nº 23.

A continuación con esta nueva matriz de valores ubicado en el lado lateral derecho de la Fig. 23, procedemos a aplicar los mismos conceptos descritos, de donde podremos obtener un pit que proporcione el diseño con mejor valor económico.



Así si el diseño llega hasta llega hasta el valor 5 del 3er nivel, indica que en el pit en la primera sección llegará hasta el nivel 1, de donde se tomará el diseño obtenido previamente hasta este nivel.

Si en la sección 2, el diseño llega hasta el 2do nivel, se tomará en esta sección 2, el diseño encontrado previamente que llegó hasta este 2do nivel.

De esta forma se procede a tomar el diseño encontrado y elegido en cada sección para hacer el ensamblado de secciones y obtener una presentación similar a la Fig. Nº 24.

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