Estimación de Recursos
Una de las etapas mas importantes para evaluar un depósito o parte de un depósito de minerales

Teoría Geoestadística: Función Aleatoria

FUNCIONES ALEATORIAS

Un valor observado en cada punto de x es considerado como el resultado z(x) de un variable aleatoria Z(x), se debe comprender que cada uno de los puntos z(x), sean estos cuantificados o no, son representados por la variable aleatoria Z(x).

La totalidad de variables aleatorias Z(x) localizados en cada punto x, conforman una función aleatoria FA. (que es sinónimo de un proceso estocástico). La función aleatoria reproduce la misma relación de una de sus ocurrencias como variable aleatoria. La función aleatoria esta caracterizada por una distribución finita multidimensional de variables aleatorias. Por ejemplo la unión de la distribución de todas las variables aleatorias Z(x1), Z(x2), Z(x3).... Z(xk), para todos los k y para todos los puntos x1, x2,..., xk conformaría una función aleatoria (F.A.), lo cual sería imposible hacer algo práctico, a menos que estemos preparados para hacer supuestos a estas distribuciones.

Hipótesis intrínseca de estacionariedad

En estadística es común asumir la estacionariedad de las variables, por ejemplo los indicadores estadísticos y distribuciones de frecuencia son invariables a la traslación, de la misma forma una función aleatoria estacionaria es homogénea y auto repetitiva en el espacio. Es decir para todo incremento h, la distribución probabilística de Z(x1), Z(x2), Z(x3),...., Z(xk) es la misma a h metros de distancia Z(x1+h), Z(x2+h), Z(x3+h),...., Z(xk+h). Esto hace posible realizar una inferencia estadística sobre una ocurrencia particular de las variables.

En el estricto sentido la estacionariedad requiere que todos los momentos (estadísticos) sean invariables en la traslación, pero esto no puede ser verificado a partir de data experimental, usualmente solo podemos contar con dos momentos que son la media y la covarianza para que sean constantes. A esto llamamos estacionariedad de segundo orden. En otras palabras, reconocemos y dejamos establecido que el valor esperado (o promedio) de Z(x) debe ser constante para todos los puntos x.

E(Z(x)) = m(x) = m


En "segundo" lugar la función covarianza de los valores existentes entre cualquiera de dos puntos x y x+h depende del vector h, pero no del punto x. Es decir:

E(Z(x).Z(x+h)) - m2 = C(h)


No se necesita hacer asumciones sobre la varianza, por que ésta se orienta a ser igual a la covarianza C(h), para una distancia de h=0.

En la práctica a menudo la aplicación de asumciones no satisface, claro que cuando se observa que hay una tendencia marcada de una mineralización no se puede asumir el valor promedio como constante. Otra rama de la geoestadística fue desarrollado para tomar en cuenta la no estacionariedad en las variables regionalizadas. Esta fuera de nuestro tema, los interesados pueden consultar a Matheron (1973) o Delfines (1976).

Por el momento podemos considerar casos en donde el valor promedio se mantiene constante. Sin embargo, aun cuando esto es cierto, la covarianza no esta presente. Un ejemplo práctico particular de esto fue descrito por Krige (1978) para leyes de oro en Sudáfrica. En ambas investigaciones teórico y práctico, es conveniente plantear esta hipótesis. A esto se debe por que Matheron (1963 - 1965) desarrolló la "hipótesis intrinseca", en donde se asume que para incrementos en la función aleatoria hay presencia de estacionariedad en la ley promedio y tambien en la varianza de incrementos Z(x+h) - Z(x) y es independiente del punto x.

E(Z(x)) = E(Z(x+h))

E(Z(x+h) - Z(x)) = 0

Var (Z(x+h) - Z(x)) = 2Gama(h)


La función Gama(h) se denomina semi-variograma (variograma para simplificar). Es la herramienta básica para la interpretación de la estructura de un fenómeno o para la estimación. Las variables regionalizadas que son estacionarias siempre satisfacen la hipótesis intrínseca, veremos que si la variable regionalizada es estacionaria, existirá equivalencia entre el variograma Gama(h) y la covarianza C(h). La mayoría de los estimadores utilizados en las ciencias de la tierra, son combinaciones lineales de datos. Es cierto que para el método del inverso de la distancia, el método poligonal o para otro método de medias móviles, no habría forma de determinar la varianza que parecería cero, por ello es importante calcular la varianza en furnción del variograma o cavarianza. En contraste con el caso estacionario, cuando trabajamos con variables intrínsecas las operaciones son solo definidas por incrementos. Veremos que la varianza de una combinación lineal puede ser calculada solamente si la suma de los pesos es cero, utilizando el indicador de la función aleatoria en base a incrementos dentro del rango del modelo del variograma disponible.

Función espacial de la covarianza

Las propiedades básicas de la covarianza espacial y su relación con el variograma para funciones aleatorias estacionarias, son las siguiente:

C(0) = varianza

C(h) = C(-h)

|C(h)| < = C(0)


La relación básica entre el variograma y la respectiva covarianza es la siguiente:



Es decir:





El variograma en la práctica indica (en cada uno de sus puntos) el valor esperado de la diferencia entre las muestras distanciadas en h metros. Este instrumento servirá de soporte para la medición de la probabilidad de acercarse a la realidad al realizar la estimación de la ley en un depósito de mineral.